Bitcoin et l’espérance mathématique : probabilités, minage et risques

Bitcoin, minage et probabilités : espérance mathématique

Peut-on mesurer l’avenir de Bitcoin avec une formule mathématique ? La question mérite d’être posée, car Bitcoin fait intervenir le hasard à plusieurs niveaux. Les mineurs recherchent des blocs sans savoir quand ils réussiront, les entreprises doivent évaluer leurs dépenses et les détenteurs prennent des décisions dont les résultats futurs restent incertains. L’espérance mathématique offre un outil pour raisonner sur ces situations, mais elle n’a pas la même portée dans chacun de ces domaines.

Son application la plus rigoureuse concerne le minage, dont les probabilités découlent des règles du protocole. En revanche, l’évolution du prix du bitcoin ne suit aucune distribution de probabilité connue à l’avance. Confondre ces deux situations reviendrait à donner à une hypothèse financière la précision d’une loi mathématique. C’est précisément cette distinction que nous allons examiner.

Comprendre l’espérance mathématique sans être spécialiste

En probabilités, l’espérance d’une variable aléatoire représente la moyenne théorique de ses résultats, pondérés par leur probabilité. Pour un nombre fini d’issues, on multiplie chaque résultat possible par sa probabilité, puis on additionne les produits. La notation habituelle est E(X) = Σ pᵢ × xᵢ, où xᵢ représente un résultat et pᵢ sa probabilité. Une espérance n’est ni une promesse ni nécessairement un résultat que l’on peut observer lors d’une tentative.

Imaginons un jeu fictif : une personne a 25 % de chances de gagner 100 € et 75 % de chances de perdre 20 €. Son espérance de gain net est de 0,25 × 100 + 0,75 × (−20), soit 10 € par partie. Pourtant, lors d’une partie, elle gagnera 100 € ou perdra 20 € : elle ne recevra jamais exactement les 10 € de l’espérance. Cette valeur décrit une moyenne théorique, qui prend notamment son sens lorsqu’on répète l’expérience dans des conditions comparables.

Une espérance positive ne garantit pas non plus une situation confortable. Deux expériences peuvent avoir la même moyenne, tout en présentant des risques radicalement différents. Pour les comparer, il faut examiner la dispersion des résultats, appelée variance, les pertes extrêmes possibles et les ressources dont dispose la personne qui supporte le risque.

Le minage Bitcoin : une application concrète des probabilités

Pourquoi trouver un bloc relève-t-il du hasard ?

Pour produire un bloc, les mineurs calculent à répétition le double SHA-256 d’un en-tête de bloc. Ils cherchent un résultat inférieur ou égal à la cible de difficulté autorisée. Chaque essai a une probabilité de succès extrêmement faible, mais cette probabilité est déterminée par la cible. Il ne s’agit pas de deviner un prix ou le comportement d’un marché : il s’agit d’une expérience cryptographique dont la condition de réussite est définie par le protocole.

Si la cible entière est notée T, et si l’on modélise les empreintes comme uniformément réparties parmi les 2²⁵⁶ valeurs possibles, la probabilité de succès d’un essai est p = (T + 1) / 2²⁵⁶. Le nombre moyen d’essais nécessaires est alors 1/p. Cette formulation décrit un modèle probabiliste de la recherche de preuve de travail, pas une garantie sur le nombre exact de calculs avant le prochain bloc.

De la puissance de calcul à l’espérance de blocs

Prenons un exemple volontairement simplifié. Supposons qu’un mineur fournisse 0,1 % de la puissance de calcul effective du réseau, que cette proportion reste stable et que le réseau produise en moyenne 144 blocs par jour. Sa part attendue serait de 144 × 0,001, soit 0,144 bloc par jour. Sur 30 jours, son espérance serait de 4,32 blocs. Cela ne signifie pas qu’il découvrira quatre blocs chaque mois : il pourrait n’en trouver aucun, puis plusieurs sur une autre période.

Sous une approximation de Poisson, pertinente pour modéliser des découvertes rares et indépendantes à taux constant, la probabilité de ne découvrir aucun bloc sur 30 jours serait d’environ e^(−4,32), soit 1,33 %. Cette illustration montre pourquoi l’espérance seule ne suffit pas : le résultat effectif reste aléatoire. Dans la réalité, la puissance du réseau, la difficulté, la disponibilité des machines et les conditions d’exploitation évoluent.

Hypothèse pédagogique	Valeur
Part du hashrate	0,1 %
Blocs moyens du réseau par jour	144
Espérance quotidienne	0,144 bloc
Espérance sur 30 jours	4,32 blocs
Probabilité approximative de zéro bloc sur 30 jours	1,33 %

Pourquoi les pools de minage changent-ils la régularité des revenus ?

Un mineur isolé supporte directement les longues périodes sans découverte. En rejoignant un pool, il mutualise une partie de cette incertitude avec d’autres participants. Les récompenses sont ensuite réparties selon les règles du pool et les contributions mesurées. Le pool ne fait pas apparaître une espérance miraculeusement supérieure : il modifie surtout la fréquence et la dispersion des paiements, auxquels s’ajoutent des frais et des risques de contrepartie.

Il faut également distinguer le rendement attendu du minage et la récompense d’un bloc effectivement trouvé. Depuis le halving d’avril 2024, la subvention prévue par le protocole est de 3,125 BTC par bloc, à laquelle peuvent s’ajouter les frais de transaction. Ce chiffre est une règle de la période actuelle, non un montant garanti de revenus pour un mineur. Le calcul économique doit intégrer la répartition réelle des récompenses, les frais de pool et les variations de difficulté.

De l’espérance de récompense à l’espérance de rentabilité

Un exploitant ne peut pas se contenter de calculer le nombre de blocs qu’il espère découvrir. Il doit transformer cette espérance en recettes potentielles, puis soustraire les dépenses. Une formule simplifiée consiste à écrire : espérance de résultat = revenus attendus − électricité − autres coûts d’exploitation − amortissement du matériel. Cette expression est utile pour raisonner, mais elle dépend d’hypothèses sur le prix du bitcoin, les frais de transaction, la difficulté future et la disponibilité des équipements.

Imaginons une machine qui consomme 3 kilowatts en continu. Sur 24 heures, elle utilise 72 kilowattheures. Avec un prix fictif de 0,10 € par kilowattheure, la dépense électrique atteint 7,20 € par jour, hors autres frais. Si ses recettes moyennes estimées s’élèvent à 8 €, il reste seulement 0,80 € avant amortissement, maintenance, refroidissement et fiscalité. Une faible variation des recettes ou du coût de l’énergie peut alors rendre l’exploitation déficitaire.

L’exemple ne constitue pas une estimation de rentabilité actuelle d’un ASIC précis. Il illustre une règle générale : une espérance positive calculée avec des hypothèses fragiles ne garantit pas un bénéfice réel. Un projet de minage doit être évalué avec plusieurs scénarios et une marge suffisante pour absorber les périodes défavorables.

Peut-on calculer l’espérance du prix du bitcoin ?

On peut toujours construire des scénarios de prix et leur attribuer des probabilités. Par exemple, un analyste peut imaginer trois valeurs futures, calculer la moyenne pondérée et obtenir un prix attendu dans son modèle. Mathématiquement, l’opération est correcte si les calculs sont exacts. Mais rien ne prouve que les probabilités choisies correspondent à celles du monde réel. Elles traduisent souvent des hypothèses personnelles plutôt qu’une loi statistique stable.

Le marché dépend de décisions humaines, de la liquidité, de la réglementation, de l’environnement économique et d’événements imprévus. Ses probabilités ne sont pas données par le protocole Bitcoin. Présenter un objectif de prix comme une espérance scientifique serait donc trompeur sans expliquer le modèle, ses données, sa période de référence et ses limites.

Cette distinction est particulièrement importante pour les épargnants. Une espérance de rendement positive, même raisonnablement estimée, ne supprime pas les baisses temporaires ou durables. La capacité à supporter une perte, l’horizon de détention et les besoins de liquidité restent des éléments déterminants. L’espérance mathématique peut éclairer une décision, mais elle ne remplace ni la prudence ni l’examen du risque.

La variance : pourquoi deux espérances identiques peuvent cacher des risques différents

Considérons deux choix fictifs ayant chacun une espérance de gain de 10 €. Le premier procure toujours 10 €. Le second donne 1 000 € avec une probabilité de 1 % et zéro dans les autres cas. Leur moyenne théorique est identique, mais leur expérience concrète ne l’est pas : le second produit presque toujours zéro et très rarement un gain élevé. Sa variance est beaucoup plus importante.

Cette différence permet de comprendre pourquoi un mineur isolé et un participant à un pool peuvent rechercher des revenus plus ou moins réguliers, et pourquoi un investisseur ne doit pas comparer des stratégies uniquement à partir de leur rendement moyen supposé. La distribution complète des résultats compte, notamment lorsqu’une succession de pertes peut empêcher de poursuivre l’activité.

L’espérance de perte appliquée à la sécurité Bitcoin

Les probabilités servent aussi à examiner certaines dépenses de protection. Dans un modèle simple, une perte attendue peut s’écrire comme la probabilité d’un incident multipliée par le montant perdu si cet incident se produit. Si un risque hypothétique de 1 % par an concerne une perte de 20 000 €, la perte moyenne théorique atteint 200 € par an. Cela ne signifie évidemment pas que l’utilisateur perdra 200 € : il pourrait ne rien perdre ou subir la perte entière.

Ce calcul peut aider à comparer des mesures de sécurité, mais il comporte des limites importantes. La probabilité réelle d’un vol de clés privées ou d’une erreur de sauvegarde est rarement connue avec précision. Certaines conséquences sont également irréversibles et ne se résument pas à une moyenne financière. Pour des fonds essentiels, une faible probabilité de perte totale peut justifier des protections renforcées, même lorsque l’espérance calculée paraît modeste.

La sécurité ne consiste donc pas à rechercher uniquement le coût moyen le plus faible. Elle doit aussi prendre en compte la gravité des scénarios, la séparation des sauvegardes, la fiabilité des appareils et les compétences nécessaires pour restaurer les fonds. Les dispositifs multisignatures peuvent réduire certaines dépendances à une seule clé, mais ils ajoutent eux-mêmes des exigences opérationnelles.

Ce que l’espérance mathématique ne permet pas de prévoir

L’espérance mathématique est une propriété d’un modèle probabiliste. Elle n’est pas une boule de cristal. Dans le minage, les conditions de succès sont définies par le protocole, ce qui autorise des calculs rigoureux sous des hypothèses explicites. Dans les marchés financiers et la sécurité opérationnelle, les probabilités doivent souvent être estimées et peuvent évoluer. La qualité du résultat dépend alors autant des hypothèses que de la formule.

Il faut aussi se méfier d’une confusion entre moyenne et résultat individuel. Un événement rare peut survenir immédiatement, tandis qu’un événement attendu en moyenne peut tarder longtemps. Les calculs deviennent particulièrement trompeurs lorsqu’on oublie la variance, les pertes extrêmes, les coûts réels ou les changements de conditions. C’est pourquoi une présentation sérieuse doit toujours expliquer ce qui est connu, ce qui est supposé et ce qui reste incertain.

Un lien direct avec l’asymétrie technique de Bitcoin

Notre dossier consacré à l’asymétrie technique de Bitcoin expliquait pourquoi trouver une preuve de travail valide demande de nombreuses tentatives, alors que vérifier le résultat est rapide. L’espérance mathématique apporte ici une perspective complémentaire : elle permet de quantifier le nombre moyen d’essais ou de blocs attendus, sans prédire le moment exact d’une découverte.

Les deux notions éclairent ainsi des aspects différents du protocole. L’asymétrie décrit une différence de coût entre recherche et vérification ; l’espérance décrit la moyenne théorique d’un phénomène aléatoire. Ensemble, elles permettent de mieux comprendre la logique du minage et la raison pour laquelle les résultats individuels restent incertains.

En bref

L’espérance mathématique est un outil puissant pour comprendre les probabilités associées à Bitcoin. Son application la plus solide concerne la preuve de travail et le minage, où les conditions de succès sont définies par des règles techniques. Elle permet aussi de construire des modèles économiques et de sécurité, à condition de reconnaître que leurs probabilités sont souvent estimées. Une moyenne favorable ne garantit jamais un résultat individuel et ne suffit pas à mesurer le risque.

🔍 Avis de DUC

À mes yeux, l’intérêt de l’espérance mathématique est de nous obliger à distinguer ce que nous savons réellement de ce que nous imaginons. Le minage Bitcoin repose sur des calculs probabilistes précis. En revanche, lorsque quelqu’un annonce le prix futur du bitcoin avec une apparente certitude, il faut toujours demander d’où viennent ses probabilités et comment elles ont été établies.

Je considère également que cette notion apporte une leçon importante à tous ceux qui s’intéressent à Bitcoin : une moyenne favorable ne protège pas contre une mauvaise décision ou une perte insupportable. Les mathématiques aident à réfléchir, mais elles ne dispensent jamais de comprendre les hypothèses et les conséquences. Pour moi, savoir reconnaître les limites d’un calcul fait partie de la véritable éducation financière et technique.